Tabla de áreas bajo la curva normal

Por el Psic. Fernando Reyes Baños

Figura 1. Conjunto de datos que se distribuyen de forma normal.

Teniendo un conjunto de datos que se distribuyen en forma normal (en la Figura 1 puede observarse un ejemplo gráfico de esta clase de distribución), con una media (M) y una desviación estándar (s) cualquiera, puede convertirse un dato X en dato z, mediante la expresión: Z = X - M / s, donde si: X es mayor que M, z es positivo, X = M, z = 0 y X es menor que M, z es negativo. Por ejemplo, si M = 70 y s = 10, la conversión de los valores 60, 70 y 80 en datos z sería:

z = 60 - 70 / 10 = -1
z = 70 - 70 / 10 = 0
z = 80 - 70 / 10 = 1

Nótese que la distancia entre la M y 80 es de una desviación estándar a la derecha de la media, que la distancia entre 60 y M también es de una desviación estándar pero por debajo de la media y que la distancia entre el valor 70 y M es igual a cero, por lo que el valor z que corresponde a un valor X mide la distancia que hay entre la media y el valor X, distancia que se mide en desviaciones estándar; en otras palabras, z indica el número de desviaciones estándar que hay entre un valor dado y la media (por arriba de la media si z es positivo y por abajo si z es negativo).

Cuando una distribución de frecuencias tiene una forma normal, el porcentaje de datos cuyos valores están comprendidos entre la media y un valor arriba de la media a una desviación estándar de distancia es de 34.13% aproximadamente. De manera simbólica: entre X y M + 2s se encuentra el 47.72% del total de datos y entre X y M + 3s se encuentra el 49.87% del total de datos.

Las siguientes distribuciones normales, por ejemplo, tienen diferentes medias y desviaciones estándar, pero las distancias entre los valores dados y la media es de una desviación estándar:

a) Cuando M = 24 y s = 7, entre 24 y 31 se encuentra el 34.13%, ya que la distancia entre 24 y 31 es de una desviación estándar (z = 31 - 24 / 7 = 1) y
b) Cuando M = 100 y s = 25, entre 100 y 125 se encuentra el 34.13%, ya que la distancia entre 100 y 125 es de una desviación estándar (z = 125 - 100 / 25 = 1).

Cuando la distancia entre la media y un valor dado es de dos o tres desviaciones estándar, se presentan las siguientes situaciones: a) El porcentaje de datos es de 47.72% si los valores están comprendidos entre la media y un valor arriba de la media a dos desviaciones estándar de distancia y b) El porcentaje de datos es de 49.87% si los valores están comprendidos entre la media y un valor arriba de la media a una distancia de tres desviaciones estándar. Por ejemplo: siendo M = 30 y s = 8, el 47.72% de los datos se encuentran entre 30 y 46, porque la distancia entre estos valores es de dos desviaciones estándar (z = 46 - 30 / 8 = 2); en cambio, el 49.87% de los datos se ubican entre 30 y 54, ya que la distancia entre 30 y 54 es de tres desviaciones estándar (z = 54 - 30 / 8 = 3). En la Figura 2 se ilustra cómo se distribuyen estos porcentajes alrededor de M.

Figura 2. Distribución de los porcentajes de datos alrededor de M.

Los porcentajes anteriores (34.13%, 47.72% y 49.87%), correspondientes a los valores z de 1, 2 y 3 respectivamente, pueden obtenerse a través de la tabla de áreas bajo la curva normal (Tabla 1). En dicha tabla, constituida por un arreglo de números dispuestos en filas y columnas, se encuentran los diferentes porcentajes que corresponden a los diferentes valores de z. La primera columna y el primer renglón dan los valores de z desde 0.00 hasta, como en el caso de la Tabla 1, 3.09 (otras tablas pueden incluir valores mayores de z). En Internet es posible usar también calculadoras especialmente diseñadas para calcular automáticamente algunos datos relacionados con el contenido de esta tabla. Un ejemplo de lo anterior puede ponerse en práctica en la siguiente dirección: http://www.danielsoper.com/statcalc/calc02.aspx.

Z	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0.0	0.0000	0.0040	0.0080	0.0120	0.0160	0.0199	0.0239	0.0279	0.0319	0.0359
0.1	0.0398	0.0438	0.0478	0.0517	0.0557	0.0596	0.0636	0.0675	0.0714	0.0753
0.2	0.0793	0.0832	0.0871	0.0910	0.0948	0.0987	0.1026	0.1064	0.1103	0.1141
0.3	0.1179	0.1217	0.1255	0.1293	0.1331	0.1368	0.1406	0.1443	0.1480	0.1517
0.4	0.1554	0.1591	0.1628	0.1664	0.1700	0.1736	0.1772	0.1808	0.1844	0.1879
0.5	0.1915	0.1950	0.1985	0.2019	0.2054	0.2088	0.2123	0.2157	0.2190	0.2224
0.6	0.2257	0.2291	0.2324	0.2357	0.2389	0.2422	0.2454	0.2486	0.2517	0.2549
0.7	0.2580	0.2611	0.2642	0.2673	0.2704	0.2734	0.2764	0.2794	0.2823	0.2852
0.8	0.2881	0.2910	0.2939	0.2967	0.2995	0.3023	0.3051	0.3078	0.3106	0.3133
0.9	0.3159	0.3186	0.3212	0.3238	0.3264	0.3289	0.3315	0.3340	0.3365	0.3389
1.0	0.3413	0.3438	0.3461	0.3485	0.3508	0.3531	0.3554	0.3577	0.3599	0.3621
1.1	0.3643	0.3665	0.3686	0.3708	0.3729	0.3749	0.3770	0.3790	0.3810	0.3830
1.2	0.3849	0.3869	0.3888	0.3907	0.3925	0.3944	0.3962	0.3980	0.3997	0.4015
1.3	0.4032	0.4049	0.4066	0.4082	0.4099	0.4115	0.4131	0.4147	0.4162	0.4177
1.4	0.4192	0.4207	0.4222	0.4236	0.4251	0.4265	0.4279	0.4292	0.4306	0.4319
1.5	0.4332	0.4345	0.4357	0.4370	0.4382	0.4394	0.4406	0.4418	0.4429	0.4441
1.6	0.4452	0.4463	0.4474	0.4484	0.4495	0.4505	0.4515	0.4525	0.4535	0.4545
1.7	0.4554	0.4564	0.4573	0.4582	0.4591	0.4599	0.4608	0.4616	0.4625	0.4633
1.8	0.4641	0.4649	0.4656	0.4664	0.4671	0.4678	0.4686	0.4693	0.4699	0.4706
1.9	0.4713	0.4719	0.4726	0.4732	0.4738	0.4744	0.4750	0.4756	0.4761	0.4767
2.0	0.4772	0.4778	0.4783	0.4788	0.4793	0.4798	0.4803	0.4808	0.4812	0.4817
2.1	0.4821	0.4826	0.4830	0.4834	0.4838	0.4842	0.4846	0.4850	0.4854	0.4857
2.2	0.4861	0.4864	0.4868	0.4871	0.4875	0.4878	0.4881	0.4884	0.4887	0.4890
2.3	0.4893	0.4896	0.4898	0.4901	0.4904	0.4906	0.4909	0.4911	0.4913	0.4916
2.4	0.4918	0.4920	0.4922	0.4925	0.4927	0.4929	0.4931	0.4932	0.4934	0.4936
2.5	0.4938	0.4940	0.4941	0.4943	0.4945	0.4946	0.4948	0.4949	0.4951	0.4952
2.6	0.4953	0.4955	0.4956	0.4957	0.4959	0.4960	0.4961	0.4962	0.4963	0.4964
2.7	0.4965	0.4966	0.4967	0.4968	0.4969	0.4970	0.4971	0.4972	0.4973	0.4974
2.8	0.4974	0.4975	0.4976	0.4977	0.4977	0.4978	0.4979	0.4979	0.4980	0.4981
2.9	0.4981	0.4982	0.4982	0.4983	0.4984	0.4984	0.4985	0.4985	0.4986	0.4986
3.0	0.4987	0.4987	0.4987	0.4988	0.4988	0.4989	0.4989	0.4989	0.4990	0.4990
3.1	0.4990	0.4991	0.4991	0.4991	0.4992	0.4992	0.4992	0.4992	0.4993	0.4993
3.2	0.4993	0.4993	0.4994	0.4994	0.4994	0.4994	0.4994	0.4995	0.4995	0.4995
3.3	0.4995	0.4995	0.4995	0.4996	0.4996	0.4996	0.4996	0.4996	0.4996	0.4997
3.4	0.4997	0.4997	0.4997	0.4997	0.4997	0.4997	0.4997	0.4997	0.4997	0.4998
3.5	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998	0.4998
3.6	0.4998	0.4998	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999
3.7	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999
3.8	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999	0.4999
3.9	0.5000	0.5000	0.5000	0.5000	0.5000	0.5000	0.5000	0.5000	0.5000	0.5000

Tabla 1. Tabla de áreas bajo la curva normal

Nota: la tabla que se presenta en la Tabla 1, mejor conocida como tabla de áreas bajo la curva normal tipificada de 0 a z, cubre la mitad del área contemplada por la curva de Gauss únicamente, debido a lo cual, se tendrá que sumar (o restar) al resultado la otra mitad (0.5) según sea el caso, no obstante el resultado final, independientemente de la tabla que se decida usar, deberá ser el mismo.

Finalmente, puedes ver en el siguiente enlace algunos señalamientos sobre cómo encontrar los porcentajes correspondientes a los valores z, en este caso en particular, de los valores 0.4, 0.96 y 1.32, los cuales son respectivamente, 15.54%, 33.15% y 40.66%.


Fuentes consultadas:

• Aqueronte (2009). Tablas: Distribución normal tipificada. Consultado el 21 de julio de 2010 en http://unbarquero.blogspot.com/2009/04/tablas-distribucion-normal-tipificada.html.
• Brown F. (2003). Principios de la medición en psicología y educación. México: El Manual Moderno.
• Distribución normal (2010). Wikipedia, La enciclopedia libre. Consultado el 21 de julio de 2010 en http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribuci%C3%B3n_normal&oldid=37727706.
• Hernández Sampieri, Fernández Collado y Baptista Lucio (2006). Metodología de la investigación. México: McGraw-Hill.
• Portilla Chimal, E. (1998). Estadística, primer curso. México: McGraw-Hill.